Calcula la suma de la progresión geométrica a partir del primer término especificado, la razón y el rango.

Ingrese el primer término, la razón y el rango de la serie que desea calcular, y haga clic en el botón "Calcular la suma de progresiones geométricas". Calcula y muestra la suma de progresiones geométricas en el rango especificado.

También muestra cómo calcular la suma de una progresión geométrica.

Introduzca hasta 15 dígitos para Primer término y Razón, y hasta 10,000 para n-ésimo término.

Una progresión geométrica es una secuencia de números en la que las proporciones de los términos adyacentes son iguales.

El primer término de una secuencia se llama término inicial y la razón de los términos adyacentes se llama razón común.

Por ejemplo, la siguiente secuencia numérica tiene un primer término de 1 y una razón común de 3.

Como la razón común es 3, todos los términos adyacentes tienen una razón de 1:3.

Suma del primer término al n-ésimo término

Calcula la suma desde el primer término hasta el n-ésimo término.

Si el primer término es a y la razón común es r, la secuencia será la siguiente.

a, ar, ar², ar³ ... arⁿ⁻², arⁿ⁻¹

Sea Sn la suma del primero al n-ésimo término de esta secuencia, Sn se puede expresar de la siguiente manera.

S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + arⁿ⁻² + arⁿ⁻¹

Multiplica ambos lados de esta ecuación por r.

rS_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + ... + arⁿ⁻¹ + arⁿ

Resta los lados izquierdo y derecho de estas dos expresiones.

El lado izquierdo se convierte en S_n − rS_n, y el lado derecho desaparece, por lo que se convierte en a − arⁿ.

S_n − rS_n = a − arⁿ

Resuelve esto para Sn.

S_n(1 − r) = a(1 − rⁿ)

S_n = a(1 − rⁿ)(1 − r)

Por lo tanto

Cuando r = 1, todos los números de la progresión geométrica son iguales al primer término, por lo que queda como sigue.

S_n= a + a + a + ... + a + a = na

Por lo tanto

Suma de n-ésimo a m-ésimo

Para calcular la suma del n-ésimo al m-ésimo, de manera similar, invierte la secuencia y suma ambos lados.

El lado izquierdo se convierte en rS_m−n − S_m−n, y la parte media del lado derecho desaparece, por lo que arⁿ⁻¹ − Se convierte en ar^m.

rS_m−n − S_m−n = arⁿ⁻¹ − ar^m

Resuelve esto para S_m−n.

S_m−n(1 − r) = a(rⁿ⁻¹ − r^m)

S_m−n= a(rⁿ⁻¹ − r^m)(1 − r)

Por lo tanto

Cuando r = 1, todos los números de la progresión geométrica son iguales al primer término, por lo que queda como sigue.

S_m−n= a + a + a + ... + a + a = (m − n + 1)a

Por lo tanto