Calcula la suma de la progresión aritmética del primer término, la diferencia y el rango especificados.

Ingrese el primer término, la diferencia y el rango de la serie que desea calcular, y haga clic en el botón "Calcular suma de progresión aritmética". Calcula y muestra la suma de progresiones aritméticas en el rango especificado.

También muestra cómo calcular la suma de una progresión aritmética.

Introduzca hasta 15 dígitos para Primer término y Diferencia, y hasta 15 dígito para n-ésimo término.

Una progresión aritmética es una progresión de números en la que la diferencia entre términos adyacentes es igual.

El primer término de una secuencia se llama primer término y la diferencia entre términos adyacentes se llama diferencia común.

Por ejemplo, la siguiente secuencia tiene un primer término de 1 y una diferencia común de 2.

Como la diferencia común es 2, la diferencia entre términos adyacentes es todo 2.

Suma del primer término al n-ésimo término

Calcula la suma desde el primer término hasta el n-ésimo término.

Si el primer término es a₁, el n-ésimo término es a_n y la diferencia común es d, la secuencia es la siguiente.

a₁, a₁+d, a₁+2d, a₁+3d ... a_n−d, a_n

Sea Sn la suma del primero al n-ésimo término de esta secuencia, Sn se puede expresar de la siguiente manera.

S_n = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + (a₁+3d) + ... + (a_n−d) + a_n

Además, si consideramos una secuencia numérica en la que se invierte el orden de esta secuencia numérica, la suma será la misma ya que solo cambia el orden.

Por tanto, Sn también se puede expresar de la siguiente manera.

S_n = a_n + (a_n−d) + (a_n−2d) + ... + (a₁+2d) + (a₁+d) + a₁

Suma los lados izquierdo y derecho de estas dos ecuaciones.

En el lado derecho, todos los números sumados son (a₁+a_n), y cuando el número es n, (a₁+ a _>n) × n, entonces 2S_n = n(a₁ + a_n).

Al dividir ambos lados de esta ecuación por 2, obtenemos S_n = 12n(a₁ + a_n).

Por lo tanto

Además, el n-ésimo término es a₁ +(n − 1)d, por lo que a_n = a₁ +(n − 1) Sustituyendo d da
S_n = 12n(2a₁ +(n − 1)d).

Por lo tanto

Suma de n-ésimo a m-ésimo

Para calcular la suma del n-ésimo al m-ésimo, de manera similar, invierte la secuencia y suma ambos lados.

En el lado derecho, todos los números sumados son (a_n+a_m), y el número es (m−n+1) y (a_n ). sub>+a_m) × (m−n+1), entonces 2S_m−n = (m−n+1) × ( a_n+a_m).

Al dividir ambos lados de esta ecuación por 2, obtenemos S_m−n = 12(m−n+1)(a_n+a_m).

Por lo tanto